
\prob{003D}{虚数次方}

求$\mathi^\mathi$。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$\mathi^\mathi = \mathe^{-\sfrac\pi2}$}

\subsection{Euler公式}

基本思路：运用Euler公式将$\mathi$转换为$\sqrt{\mathe^{\mathi\pi}}$，进而求解$\mathi^\mathi$。

由第~\ref{sec:001F} 题的结论知

\[ \mathe^{\mathi\pi} = -1 \]

因此，

\begin{align*}
  \mathi^\mathi &= (\sqrt{-1})^\mathi \\
  &= (\sqrt{\mathe^{\mathi\pi}})^{\mathi} \\
  &= ((\mathe^{\mathi\pi})^{\sfrac12})^{\mathi} \\
  &= \mathe^{\mathi\pi\cdot\sfrac12\cdot\mathi} \\
  &= \mathe^{-\sfrac\pi2} \\
\end{align*}

综上，$\mathi^\mathi = \mathe^{-\sfrac\pi2}$。
